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數學常數,是n趨近於無窮大時(1+1/n)^n的極限值,約等於2.718 来自维基百科,自由的百科全书
,亦称自然常数、自然底数,或是欧拉数(Euler's number),是无理数的数学常数,以瑞士数学家欧拉命名;还有个较少见的名字纳皮尔常数,用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数,数值约是(小数点后20位, A001113):
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![]() | ||
命名 | ||
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名称 | 纳皮尔常数 | |
识别 | ||
种类 | 无理数 超越数 | |
发现 | 雅各布·伯努利 | |
符号 | ||
位数数列编号 | ![]() | |
性质 | ||
定义 | ||
连分数(线性表示) | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] | |
以此为根的多项式或函数 | ||
表示方式 | ||
值 | 2.7182818284 | |
无穷级数 | ||
二进制 | 10.101101111110000101010001…[1] | |
八进制 | 2.557605213050535512465277…[2] | |
十进制 | 2.718281828459045235360287… | |
十二进制 | 2.8752360698219BA71971009B…[3] | |
十六进制 | 2.B7E151628AED2A6ABF715880…[4] | |
六十进制 | 2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55… | |
各种各样的数 |
基本 |
延伸 |
其他 |
约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表中第一次提到常数,但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为这是由威廉·奥特雷德制作的。第一次把看为常数的是雅各布·伯努利,他尝试计算下式的值:
已知的第一次用到常数,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以表示。1727年欧拉开始用来表示这常数;而第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然往后年日有研究者用字母表示,但较常用,终于成为标准。
用表示的原因确实不明,但可能因为是指数函数(exponential)一字的首字母。另一看法则称有其他经常用途,而是第一个可用字母。
就像圆周率和虚数单位i,是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义,下面列出一部分。
这些定义可证明是等价的,请参见文章指数函数的特征描述。
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要性在于,唯独该函数(或其常数倍,即,其中为任意常数)与自身导数相等。即:
为复数时依然成立,因此根据及的泰勒级数,得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式:
当的特例是欧拉恒等式:
此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。
即棣莫弗公式。
就像以下的展开式:
证明是无理数可以用反证法。假设是有理数,则可以表示成 ,其中为正整数。以的无穷级数展开式可以得出矛盾。
考虑数字
以下将推导出是小于1的正整数;由于不存在这样的正整数,得出矛盾,所以得证是无理数。
但是0与1之间(不含0与1)不存在有整数,故原先假设矛盾,得出为无理数。
视为存在的数值,所以用二项式定理可证出:
日期 | 位数 | 计算者 |
---|---|---|
1748年 | 18 | 李昂哈德·欧拉 |
1853年 | 137 | William Shanks |
1871年 | 205 | William Shanks |
1884年 | 346 | J. M. Boorman |
1946年 | 808 | ? |
1949年 | 2,010 | 约翰·冯·诺伊曼 |
1961年 | 100,265 | Daniel Shanks & 约翰·威廉·伦奇 |
1978年 | 116,000 | 史蒂芬·盖瑞·沃兹尼克 |
1994年 | 10,000,000 | Robert Nemiroff & Jerry Bonnell |
1997年5月 | 18,199,978 | Patrick Demichel |
1997年8月 | 20,000,000 | Birger Seifert |
1997年9月 | 50,000,817 | Patrick Demichel |
1999年2月 | 200,000,579 | Sebastian Wedeniwski |
1999年10月 | 869,894,101 | Sebastian Wedeniwski |
1999年11月21日 | 1,250,000,000 | Xavier Gourdon |
2000年7月10日 | 2,147,483,648 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2000年7月16日 | 3,221,225,472 | Colin Martin、Xavier Gourdon |
2000年8月2日 | 6,442,450,944 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2000年8月16日 | 12,884,901,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2003年8月21日 | 25,100,000,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2003年9月18日 | 50,100,000,000 | 近藤茂、Xavier Gourdon |
2007年4月27日 | 100,000,000,000 | 近藤茂、Steve Pagliarulo |
2009年5月6日 | 200,000,000,000 | 近藤茂、Steve Pagliarulo |
2010年2月21日 | 500,000,000,000 | 余智恒(Alexander J. Yee) |
2010年7月5日 | 1,000,000,000,000 | 近藤茂、余智恒(Alexander J. Yee) |
2014年11月15日 | 1,048,576,000,000 | David Galilei Natale |